Vom Ziegenproblem (oder: «Monty-Hall-Dilemma») haben Sie wahrscheinlich schon gehört. Zahlreiche Kontroversen wurden dazu ausgetragen – nicht nur von Hinz und Kunz, sondern auch von waschechten Mathematikern – und es existiert eine umfangreiche Fachliteratur.
Frage: Die Ausgangslage (zur Auffrischung): Sie können in einer Spielshow zwischen drei Türen wählen. Hinter einer ist ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege. Sie wollen – nur damit da keine Missverständnisse in der Aufgabenstellung entstehen – das Auto. Sie entscheiden sich für eine Tür. Diese bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, hinter der sich eine Ziege befindet. Sie können sich nun umentscheiden. Sollten Sie es tun? Sollten Sie die andere, noch ungeöffnete Tür wählen? Oder spielt es keine Rolle?
Auch mir war das Ziegenproblem schon mehrmals begegnet, wobei ich mich jeweils nur vage daran erinnern konnte, zu welcher Lösung ich bei vorheriger Gelegenheit gekommen war. Meist war es wohl: Ja, in dieser Spielsituation sollte man tatsächlich die Türwahl ändern, denn die Wahrscheinlichkeit für das Auto (1/3) springt von der geöffneten nichtgewählten Tür auf die ungeöffnete nichtgewählte Tür. Also ergibt sich bei einem Wechsel eine 2/3-Chance auf das Auto. Entscheidend dabei ist, dass der Moderator absichtlich eine Tür mit Ziege dahinter öffnet.
Tatsächlich ist diese Lösung auch korrekt, aber sobald ich sie jemandem erklären musste, kam ich ins Straucheln: Ob der Moderator zufällig eine Tür öffnet oder absichtlich jene, hinter der eine Ziege ist, spielt doch keine Rolle? Es stehen doch am Ende einfach zwei Türen zur Auswahl: eine mit Ziege und eine mit Auto? Warum springt die Wahrscheinlichkeit von der geöffneten Ziegentür auf die ungeöffnete nichtgewählte, statt sich gleichmässig auf beide anderen Türen zu verteilen?
Erst kürzlich platzte mir dann der Knoten – und zwar endgültig. Eine Kollegin sprach mich auf das Rätsel an, ich präsentierte die obengenannte Erklärung – um einmal mehr zu merken, dass mich diese etwas unbefriedigt zurücklässt (also… die Erklärung, nicht die Kollegin). Dann kam mir aber ein Gedanke, den ich so bisher noch nirgends gelesen oder gehört hatte. Er ist derart trivial, dass man sich danach darüber wundert, warum die Frage überhaupt jemals Gegenstand irgendwelcher Debatten unter Fachleuten werden konnte.
Lösung: Entscheidend ist tatsächlich, dass der Moderator weiss, wo das Auto ist. Und klar muss auch die Regel sein, dass er, sollte das Auto hinter einer der beiden nichtgewählten Türen sein, jeweils die andere öffnet.
100 Türen
Am deutlichsten lässt sich der Gedanke anhand von mehr Türen illustrieren. Nehmen wir an, es gebe 100 Türen. Sie wählen eine. Klar ist: Das Auto steht dahinter mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%. Wenn nun der Moderator weiss, wo das Auto ist, und er Schritt für Schritt nur Türen öffnet, hinter denen Ziegen stehen, dann erreichen Sie die Situation, in der Sie noch Ihre gewählte sowie eine einzige nichtgewählte Tür zur Auswahl haben, mit einer Wahrscheinlichkeit von 100%. Folglich muss sich das Auto mit 99% Wahrscheinlichkeit hinter der nichtgewählten Tür befinden, denn es ist ja mit 1%-Wahrscheinlichkeit hinter der gewählten. Sie sollten also wechseln. Unbedingt. Überdeutlich.
Wüsste der Moderator hingegen nicht, wo das Auto steht, und würde beginnen, nichtgewählte Türen zu öffnen, so bestünde bei jeder Tür das Risiko, dass dort das Auto erscheint. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie hier überhaupt in die Situation kommen, nur noch Ihre gewählte sowie eine nichtgewählte Tür zur Auswahl haben, beträgt nur noch 2% (denn mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% ist das Auto hinter einer der 98 geöffneten Türen). Das Auto steht mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% hinter Ihrer Tür. Das andere Prozent entfällt entsprechend auf die andere Tür. Folglich ist hier die Wahrscheinlichkeit 50/50. Es spielt also keine Rolle, ob Sie wechseln.
3 Türen
Genau die gleiche Lösung gilt bei nur drei Türen. Hinter Ihrer Tür ist das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Bei einem informierten Moderator erreichen Sie die Situation mit der Auswahl zwischen der gewählten und einer nichtgewählten Tür mit Sicherheit, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1. Folglich muss das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 hinter der nichtgewählten Tür sein. Sie sollten wechseln.
Ist der Moderator hingegen ahnungslos, erreichen Sie die skizzierte Situation nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit 2/3. Für die richtige Tür haben Sie sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 entschieden. Total müssen wir auf die 2/3-Wahrscheinlichkeit kommen: Das zweite Drittel entfällt entsprechend auf die nichtgewählte Tür. Beide Türen haben damit 1/3-Wahrscheinlichkeit, bzw. bedingt, dass wir uns nun in dieser Situation befinden: 50:50. Bei ahnungslosem Moderator hat der Wechsel also keine Wirkung.
Diese Erklärung dürfte für jede Person mit grundlegenden Wahrscheinlichkeitsverständnis intuitiv bestens verständlich sein. Nötig sind weder Formeln noch Kombinatorik.
Umso mehr erstaunen Episoden wie jene, die im Wikipedia-Artikel zum Ziegenproblem geschildert werden: Als der ungarische Mathematiker Andrew Vázsonyi seinem berühmteren Berufskollegen und Experten für Wahrscheinlichkeitstheorie Paul Erdős anhand eines Entscheidungsbaums die – auch für ihn kontraintuitive – Lösung (wechseln, weil 2/3 zu 1/3) darlegte, überzeugte das Erdős nicht. Er wollte eine einfache Lösung ohne Entscheidungsbäume. Vázsonyi gab auf, weil er keine Erklärung auf Basis des gesunden Menschenverstands habe. Es sei «hoffnungslos» für jemanden, der sich nicht mit Entscheidungsbäumen und dem Satz von Bayes auskenne, die Lösung zu verstehen.
Nein, ist es nicht.