Eine der wichtigsten Erfindungen der Mathematik war das Stellenwertsystem. Genau genommen: Das Stellenwertsystem in Verbindung mit der 0. Ohne dieses ist unsere moderne Arithmetik fast unvorstellbar.

Falls Sie gerade auf dem Schlauch stehen: Als Stellenwertsystem bezeichnet man ein Zahlensystem mit einer überschaubaren Anzahl von Ziffern, deren Wert in Abhängigkeit von der Position, an der die jeweilige Ziffer steht, um einen Faktor variiert, welcher der Anzahl der in diesem existierenden Ziffern entspricht.

Falls Sie immer noch auf dem Schlauch stehen: Gemeint ist z.B. unser Dezimalsystem. Wir haben zehn Ziffern – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – und abhängig davon, an welcher Stelle in einer Zahl sie stehen, variiert ihr Wert um Faktor 10.

Der Wert der Zahl 5289 ergibt sich aus der eher kompliziert ausschauenden Rechnung:

5∙103 + 2∙102 + 8∙101 + 9∙100, also:

5∙1000 + 2∙100 + 8∙10 + 9 = 5000 + 200 + 80 + 9 = 5289

Das ist für uns völlig intuitiv ohne Rechnerei das, was es halt ist: Fünftausendzweihundertneunundachtzig.

Da hatten es die Römer noch deutlich schwerer. Mit ihren Symbolen, die immer einen konkreten, unveränderlichen Zahlenwert darstellten, war die Darstellung grosser Zahlen umständlich bis unmöglich und das schriftliche Rechnen mit ihnen, z.B. simple schriftliche Multiplikationen oder Divisionen, deutlich erschwert.

Unser Dezimalsystem ist nur ein Beispiel für ein Stellenwertsystem. Die entscheidende Erfindung ist nicht die Dezimalität sondern die Stellenwertlogik – und, auch sehr unterschätzt, die 0 als Platzhalter für eine Stelle, die keinen Wert haben soll. Diese hatten die Babylonier ein paar hundert Jahre v. Chr. erstmals verwendet. Die Null als unabhängiges Symbol, mit entsprechenden Regeln (z.B. a + 0 = a) wurde sogar erst 628 n. Chr. in Indien definiert. Dass unser System aus zehn Ziffern besteht, dass also die Multiplikationsbasis 10 lautet, tut eigentlich nichts zur Sache und rührt wohl daher, dass wir zehn Finger haben. Ein Stellenwertsystem funktioniert mit allen anderen Basen nach derselben Logik. Im Allgemeinen beträgt der Wert einer Stellenwertzahl:

Z=∑i=0mai·ni

Wobei gilt:

  • Z: Der Wert der dargestellten Zahl
  • n: Die Basis des Stellenwertsystems
  • m+1: Die Anzahl der Ziffern
  • ai: Die Ziffer an der Stelle i, von rechts beginnend bei 0

Das «Lustige» an der Spezifikation «Basis 10» ist, dass sie eigentlich keine ist: Die 10 ist eine Tautologie und damit ohne jede Aussagekraft. Das ist auch die Pointe des Cartoons mit dem knuffigen, zweifingrigen Ausserirdischen und dem Astronauten. Der Astronaut rechnet mit Basis 10, da er 10 Finger hat. Das Alien rechnet mit Basis 4 (Quaternärsystem), da es total 4 Finger hat. Nur: Für das Alien ist Basis 4 Basis 10. Es kennt die Ziffern 0, 1, 2, 3. Die 4 wäre dann bei ihm 1∙41 +0∙10, Also: 10.

Oh.. jetzt sind wir in genau die Falle getappt, die der Cartoon aufzeigt: Das Alien kennt ja das Symbol für 4 gar nicht. Darum fragt es auch: «Was ist 4?». Die 4 ist für ihn 10 – eine Eins, gefolgt von einer Null. Es «rechnet» 1∙101 +0∙10.

Egal welche Basis wir also betrachten – 2, 4, 10 oder 37: Ihre Verwender würden sie immer als 10 bezeichnen. Denn bei Basis 2 hat die 10 den Wert 2, bei Basis 10 den Wert 10, bei Basis 37 den Wert 37, und so weiter und so fort.

Wenn wir schon so viel Auswahl haben: Nein, die 10 ist eigentlich nicht die optimale Basis. Eine 12 würde z.B. das Schreiben so einiger Zahlenwerte erleichtern. Vor allem von Bruchteilen. Die 10 ist (neben sich selbst und 1) nur durch 2 und 5 teilbar. Die 12 ist dagegen durch 2, 3, 4 und 6 teilbar. Das würde uns einige Nachkommastellen ersparen bzw. schlicht das Rechnen erleichtern:

  • Ein so einfacher Bruch wie 1/3 ist im Dezimalsystem umständlich 0,3333… ; im «Duodezimalsystem» wäre er schlicht 0,4. Und 0,25 wäre 0,3.
  • Der Wert, der sich in 12er-Basis als 1000 darstellt, ergäbe durch 6 geteilt nicht 166,7, sondern schön rund 200.

Etwas weiter trieben es sogar die Babylonier. Ja, zur Hölle, schon wieder diese Babylonier. Sie rechneten bereits vor mehreren Jahrtausenden mit Basis 60 (ohne allerdings damals schon eine 0 anzuwenden). 60 ist durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30 teilbar. Damit kann man sich das Leben ganz schön leicht machen. Dummerweise ist es aber unpraktisch, 60 verschiedene Zeichen auswendig zu lernen. Darum kombinierten die Babylonier zwei Schriftzeichen, um damit insgesamt 60 Varianten darzustellen. Das treibt dann die Sache allerdings wieder ad absurdum. Die verfluchten Babylonier!